耐用年数を考える（KDDIに関する報道から）

１．はじめに

新聞報道によると、携帯電話大手のKDDIが東京国税局の税務調査を受け、2013年3月期までの５年間に、約159億円の申告漏れを指摘されたとのことです。なお、追徴税額（更正処分）は、過少申告加算税や地方税などを含め約71億円（既に納付済）ですが、KDDIは国税局との見解の相違があるため、7月30日付で国税局に異議を申し立てたとのことです。


２．耐用年数を巡る見解の相違

今回の争点は、KDDIが保有する固定資産の「鉄塔の耐用年数が何年か」を巡るものと考えられます。鉄塔の耐用年数を21年と判断して減価償却を行っていたKDDIに対し、国税局は、耐用年数は40年であるべきと考えたようです。定額法償却の場合、耐用年数が21年の場合の償却率は0.048、一方耐用年数40年の場合は0.025ですから、凡そ2倍ほど減価償却費に差が出ます。

KDDIの保有している鉄塔はかなりの金額にのぼると考えられますので、耐用年数が21年か40年かによって、減価償却の金額（償却限度額）が大きく異なります。しかも、この差異が何年間も続くことから、上述のような大きな追徴税額に至ったと考えられます。


３．双方の主張する「耐用年数」とは？

新聞報道では詳細は分かりませんが、上記の争点である「耐用年数」の食い違いについて、少しひも解いてみたいと思います。

拙著、すらすら減価償却（中央経済社）の58頁以後に税務上の耐用年数の説明がありますが、税務上の耐用年数は、「耐用年数に関する省令」で事細かく決まっています。

「耐用年数に関する省令」が作られたのはかなり昔（昭和45年）で、その後何度も改正が加えられて現在に至っています。したがって、省令が作られた当初、想定していなかった（構造・機能・用途を持つ）減価償却資産については、耐用年数省令のどこに該当するのかという判定が難しいケースが実務上も多々あります。

さて、KDDIの「耐用年数は21年」という主張、国税局の「耐用年数は40年」とする主張ですが、減価償却資産の耐用年数に関する省令から、当該鉄塔が耐用年数表のどの部分に該当するかを推測してみると、次のようになります。

耐用年数の判定においては、減価償却資産の名称等の形式的なものでなく、「どのような構造で、どのような用途（事業）に使われるものなのか」という実態に応じて判断することになりますが、こうした判断を巡って双方で解釈の食い違いが出たものと考えられます。また、他の携帯電話大手企業（ＮＴＴドコモやソフトバンクモバイル）が、耐用年数の判断をどのように行っていたかも気になります（東京国税局も、これらの情報を得たうえで、今回の追徴という判断に至ったと思われますので。）


３．教訓

土地や減価償却資産（建物、構築物、機械装置等）といった固定資産は、購入するときと処分するときは細心の注意を払って処理しますが、保有期間中の処理というのは、案外見過ごされがちです。耐用年数の判定も、購入や建設当初には当然検討しますが、その後の見直しというのは、省令等の改正がない限り、あまり行われていません。

適正な耐用年数になっていれば問題はありませんが、例えば、過去の税務調査等で指摘されなかったからといって、必ずしも適切な耐用年数になっているとは限りません（過去の税務調査で、見過ごされている可能性があります。）耐用年数が間違っていれば、結果として何年間にもわたって間違った減価償却費が計上されてしまうことになります。

減価償却資産や減価償却費が比較的多額な場合、 固定資産現物と固定資産台帳の定期的な照合に加え、耐用年数の検討（検証）も併せて行ってみると良いと思われます。

また、ライフサイクルの短い製品の生産設備や特殊な機械等で、耐用年数省令に基づいて償却することが実態に即さない場合には、耐用年数短縮の承認申請を行うといった方法も検討できます。


清水公認会計士事務所（Shimizu CPA Office）

金融商品取引法の改正（新規上場後3年間、内部統制監査の免除）

１．はじめに

改正金融商品取引法が5月23日の参議院本会議で成立しました。
幾つかある改正内容の中で注目すべきは、株式公開（IPO：Initial Public Offering）を促進するため、上場から３年間は「内部統制報告書」の監査を免除することとされた改正です。施行日は「公布日から1年以内」となっています。


２．「内部統制」と「内部統制報告書監査」

　内部統制監査の対象となる「内部統制」とは、適切な財務情報（財務諸表）を開示するための社内の体制です。「内部統制」が有効か否かについて、（１）まず、経営者が内部統制の有効性を評価し、（２）その評価結果を公認会計士が監査することが義務付けられており、これが内部統制（報告書）監査といわれるものです。この内部統制（報告書）監査は、平成21年3月期決算から導入されました。


３．内部統制監査と小規模企業の負担

現行制度では、上場と同時に内部統制監査がスタートします。したがって、各種の上場準備作業と並行して内部統制監査に耐えられるだけの社内体制を作る必要があります。そのため、新規上場のハードルがかなり高くなっているという指摘がありました。さらに、こうしたハードルの高さ故、新規上場社数が伸び悩んでいるという面も否定できませんでした。

今回の改正で、上場後３年間は内部統制監査が免除されることになりました。その結果、上場時の企業の負担が軽減され、証券市場の活性化に寄与することが期待されています。


４．上場時に、内部統制が不要というわけではない

内部統制監査が免除されるからといって、上場時の内部統制がいい加減であってもよいということではありません。上場に際しては、証券取引所や主幹事証券会社によるかなり厳しい審査を受ける必要があり、（この審査には）内部統制の審査も含まれます。この上場時の審査をパスできるだけの内部統制が整備されていれば、（３年間は）内部統制監査を免除しても問題ないとされたのです。

ただ、すべての新規上場会社について内部統制監査が免除されるわけではなく、特に企業規模が大きく、社会・経済的影響力の大きな企業は除かれています。


５．二段構えの内部統制構築とスケジュール管理

新規上場時に内部統制監査が免除されることから、内部統制に関しては段階的構築・運用ができるようになりました。

第１段階（上場前） 主幹事証券会社や証券取引所の審査に耐えられる内部統制構築・運用 第２段階（上場後） 内部統制監査に耐えられる内部統制構築・運用　☛　（１）の拡充

もちろん、第一段階、第二段階の内部統制は別物ではなく、第一段階の延長線上に第二段階があります。

注意すべきは、上場後というのは、大きな仕事をやり遂げたという達成感から、社内体制構築や運用が緩くなる危険性があります。そうした中で、再び気分を引き締めて、３年後に向けて（内部統制監査に耐えられる）内部統制の構築を行う必要があります。そのためには、公開後も気を抜かず、しっかりとしたスケジュール管理の下、内部統制の拡充を図ることが求められます。


６．内部統制監査の対象とならない「内部統制」も重要（＝リスク管理）

 今回話題となっている「内部統制」は、主に、財務報告（財務諸表の作成・公表）に関する内部統制です。しかし、内部統制には、財務報告に直接関連しないものもあります。例えば、取引先（顧客）情報・個人情報等の重要な情報の管理、（メーカーであれば）、製品検査や納期管理などがあります。

すなわち、内部統制監査の対象でない内部統制であっても、（会社の運営上は）同じように構築することが必要になるのです。すなわち、財務情報を含め、会社を取り巻くリスクを統合的に管理する内部統制が必要になるのです。

こうした内部統制全般を短期間に整備・構築することは困難です。したがって、内部統制の重要性を早い段階で認識し、リスクの大小に応じた優先順位をつけながら、段階的に構築していくことが必要になります。


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交際費課税の改正

１．はじめに

平成２６ 年３月３１ 日に公布された所得税法等の一部を改正する法律により、法人の交際費等の損金不算入制度が改正され、平成２６ 年４月１日以後開始事業年度から適用されています。


２．改正の概要

（１）全法人共通
　 交際費等の額のうち、接待飲食費（社内飲食費を除く一定の飲食費）の額の50％ に相当する金額を損金の額に算入

（２）中小法人の場合
　
　 　● 上記の接待飲食費の額の５０％ 相当額の損金算入
　　 ● 定額控除限度額（８００万円 ） までの損金算入　　　　
　のいずれか有利な方を選択可能


３．補足説明

（１）中小法人以外（≒大企業の場合）
従来、交際費の損金算入は認められていませんでした。交際費の内、接待飲食費については、その５０％が損金算入できることになりました。

（２）中小法人（≒中小企業）の場合
現行の「８００万円の定額控除制度」と「接待飲食費の５０％相当額」の選択適用となりますので、接待飲食費の金額の多寡によって、有利・不利の判定が変わってくることになります。

ただ、下記の図表で見る通り、中小法人の内、「接待飲食費の５０％相当額の控除」を使った方が有利な法人は、「接待飲食費が1,600万円を超える法人」となりますので、大半のケースでは、「８００万円の定額控除」の方が有利と考えられます。

なお、詳細は国税庁の平成26年度 交際費等の損金不算入制度の改正のあらまし（パンフレット）をご参照下さい。



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相続税改正の影響試算と今後の対応

１．はじめに

平成27年1月1日以後の相続から、基礎控除が3,000万円（定額控除）、600万円（比例控除）にそれぞれ引き下げられます（以下の図表参照）。また、相続税率も最高税率がアップするなど、相続税の税負担は増加すると考えられます。

そこで今回は、相続税の改正による影響を簡単なケースで分析し、今後の注意点を検討してみました。

２．二次相続を考慮した税負担の試算の必要性

　
相続には一次相続と二次相続があります。

一次相続とは、例えば、（財産を持つ）夫が亡くなり、妻（又は子）が夫の財産を相続するケースを意味します。一次相続の場合、仮に夫にかなりの財産があっても、実は、「配偶者控除」を使うことによって税負担はかなり軽減されます。

ところが、夫の財産を相続した妻から子への相続である二次相続の場合、配偶者控除が使えませんので、税負担は高くなります。一次相続と二次相続を経て、親の代の財産が子の代へと受け継がれることになりますから、相続税負担の試算では、一次相続と二次相続の双方を考慮する必要があるわけです。


３．ケースによる税負担の試算

遺産総額が１億円（債務控除後の純額）の場合で、妻と２人の子供を相続人とする相続を考えます。現行制度と税制改正後の税負担は以下のとおりとなります。

まず、相続税の総額で見ると、295万円（395万円－100万円）増加しています。従来ほとんど相続税が係らない層にも、今後は比較的多額の相続税が課される可能性があるという傾向が読み取れます。

次に二次相続を検討します。二次相続では、夫から受け継いだ妻の財産（5,000万円）を2人の子供が相続することになります（単純化のため、妻固有の財産は考慮していません。）

現行税制では、基礎控除が7,000万円（5,000万円＋1,000万円×2人）ありますので、妻の財産（5,000万円）は基礎控除の範囲内です。したがって、二次相続では相続税負担は生じません。言い換えれば、相続税という観点からは、基本的に一次相続のみを考慮すれば足りると考えられます。

ところが、改正後の基礎控除は4,200万円（3,000万円＋600万円×2人）となりますから、妻の財産(5,000万円）は基礎控除を超えています。すなわち、二次相続（妻から子への相続）にも相続税が課されることになるのです。

さらに、財産が2億円になると、二次相続の負担が増えていくことが分かります。

さらに、相続財産が８億円の場合、二次相続の負担が一層高まることが読み取れます。

４．相続税改正から読み取れること、今後の対応

上記の簡単なケースから、相続税の改正に関して次の２つのことが読み取れます。

（１）二次相続の重要性

まず、二次相続の重要性です。もちろん、現行税制においても二次相続を考慮する必要性は高く、特に、財産総額が数億円を超えてくると、二次相続の負担を踏まえて相続税の試算や対策を行う必要があります。この点、税制改正による基礎控除の引下げと税率引上げによって、税率が比較的低い層の方々にとっても、二次相続の重要性は高まると言えるでしょう。


（２）負担感は、むしろ税率の低い層のほうが高い

次に、今まで相続税をあまり心配する必要のなかった方々（相続税がかからなかった、あるいは、多額の相続税がかからなかった方々）の実質的な負担の増加です。例えば、上記の８億円のケースでは、確かに税制改正による負担は上昇していますし、相続税総額も多額となっていますが、実質的な負担増（表最下段の「実質的な税率」の差）は、2.7％（30.1％－27.4％）となっています。

一方、実質的な負担増は1億円の場合3.0％（4.0％－1.0％）、2億円の場合は4.1％（10.6％－6.5％）となり、８億円の財産を持つ方よりもむしろ大きくなっています。１億円、２億といった相続財産を保有される方々のほうが、負担感はむしろ高くなるという見方もできるかもしれません。


５．おわりに

相続や事業承継において、相続税（対策）を過度に重視すると、近視眼的思考に陥り、本質を見失う可能性があります。まずは二次相続を含めた相続税の試算等や現状分析については、早めに準備しておく必要性は高いと考えられます。



清水公認会計士事務所（Shimizu CPA Office）

土地の値段 一物四価

先日（9月19日）、平成25年都道府県地価調査に基づく『基準地価格』が公表されましたので、今回は土地関係の話題です。


１．分かりにくい土地の価格

土地の価格というのは、なかなか分かり難いものです。世の中に「同じような土地」はあっても、「まったく同じ土地」はありません。土地は極めて強い個別性を持っています。

土地は売買されますが、上場株式のような確立した市場はなく、売買できる土地の量もかなり限られています。また、買主や売主の持つ事情、保有している情報の質・量によって、現実の取引価格も大きく変わってきます。

一方、土地を買うと不動産取得税や登録免許税（登記に必要な税金）かかりますし、保有している土地には固定資産税や都市計画税がかかります。また、土地を売れば売却益に税金がかかります。さらに、土地を相続又は贈与すると相続税や贈与税がかかります。これらの税金の元になる土地価格は同じものではありません。様々な土地の価格に基づいて、各種の税金が計算されます。


２．土地の価格（一物四価）

土地の価格と一口に言っても、その意味するところはマチマチです。ここでは、以下の５つの土地価格の意味を見ていきます。なお、（２）の公示価格と（３）の基準地価は、時点が多少違いますが基本的に同じ意味合いを持つ土地価格ですので、両方を１つと考え、実勢価格、公示価格（基準地価）、路線価、固定資産税評価額で、『一物四価』と考えられます。

　（１）　実勢価格
　（２）　公示価格
　（３）　基準地価　
　（４）　路線価（相続税路線価）
　（５）　固定資産税評価額（固定資産税路線価）


３．土地価格の種類

 （１）実勢価格

現実に土地が取引される価格を実勢価格といいます。

実勢価格は、現実に売買当事者間で成立した価格ですが、売主や買主の特殊事情（早く売りたい、とか、多少高くても買いたいといった事情）が入っていることも多いので、かなりバラツキがあるのが通常です。

なお、地域の不動産取引を数多く扱っている地元の不動産業者の方は、実勢価格に基づいてその地域の「相場観」を持っていますので、その地域で現実に土地売買を検討する際には参考になるでしょう。


（２）公示価格

公示価格とは、法律（地価公示法）に基づき、国土交通省が公表する土地の価格を意味します。

具体的には、一定の標準となる土地(平成２５年の地価公示では、全国で26,000地点）を選んで、その年の１月１日現在の価格を算定し、毎年３月下旬頃公表します。また、公示価格は、上記の実勢価格から様々な特殊事情を除外した価格を意味し、１㎡当たり更地価格として公表されます。

公示価格は、①一般の土地取引の指標、②公共事業用地の取得、③相続評価や固定資産税評価などの目安として利用されます。


（３）基準地価格

基準地価格とは、都道府県知事が政令（国土利用計画法施行令）に基づいて公表する土地の価格です。

公示価格同様、基準となる土地（平成２５年の基準地価では全国約22,000地点）を選んで、その年の７月１日現在の価格を算定し、毎年９月下旬頃公表しています。価格の意味合いは公示価格とほぼ同じですが、価格の判定日が公示価格とちょうど半年違っていることから、公示価格を補完するものとも言えます。

基準地価格の地点は、上記の公示価格の地点と重複しているものも多くなっていますが、公示地価が「都市計画区域」の中にある土地を対象としているのに対して、基準地価格は、都市計画区域外の土地も含んでいます。


（４）路線価（相続税路線価）

路線価は相続税や贈与税の課税を目的として、国税庁が定めている価格です。路線価は、毎年１月１日を評価時点として、公示価格（基準地価）、売買実例、精通者の意見等に基づいて算定されます。路線価図を見ると道路に値段が付いていますが、路線価とは、その道路に面した土地の１㎡当たりの評価額を意味します。路線価は公示価格の８０％を目安に定められています。

　
相続税の財産評価は基本的に時価となっていますので、土地も時価で評価して申告するのが原則です。しかし、土地を時価評価することは、土地の個別性があるため、なかなか困難です。しかも、土地の個別事情を考慮した評価額が妥当かどうかについて、税務署側が判断するのも相当な労力が必要です。そこで、ある程度画一的に評価できるように、国税庁が土地の価格を定めたのが「路線価」です。

なお、平成25年分の路線価（評価時点平成２５年１月１日）は、平成２５年（平成２５年１月１日～平成２５年１２月３１日））に発生した相続や贈与について適用されます。したがって、例えば、１月の相続や贈与の場合、まだその年の路線価が公表されていませんので、土地の評価が必要な場合には、（７月に公表される）路線価を待って評価・申告を行うことになります。


（５）固定資産税評価額（≒固定資産税路線価）

固定資産税や都市計画税といった土地の保有に関する税金や不動産取得税や登録免許税（登記の印紙代）を計算する基礎となる価格です。さらに、上述の（相続税）路線価がない土地の相続税や贈与税における土地評価を行う際の基準としても用いられます。

固定資産税評価額は、課税主体である各市区町村が決定します。土地については、３年毎に１月１日現在の価格して決定されています。固定資産税路線価は公示価格の70％を目安として決定されています。

固定資産税評価額は、基準となる路線価（固定資産税路線価）に市区町村が各種の調整を加え、評価額を決定しています。一方、相続税や贈与税の土地評価額（相続税評価額）は、路線価を利用して納税者側が土地の個別性を加味して算定します。

以上をまとめると、下記の表のようになります。

	公示価格(基準地価格）	相続税路線価	固定資産税路線価
目　　的	土地取引の指標等、公共事業用地の取得、相続税路線価等の目安	課税目的(相続税・贈与税における土地評価）	課税目的(固定資産税・都市計画税、不動産取得税、登録免許税）
価格の基準日	公示価格：１月１日	毎年１月１日	１月１日(３年毎）
	基準地価：７月１日
公表時期	公示価格：３月下旬	毎年７月上旬	３月初旬(３年毎）
	基準価格：９月下旬
価格水準	－	公示価格の８０％	公示価格の７０％

４．土地価格の推定（簡便法）

前述のとおり、公示価格、相続税路線価、固定資産税路線価の間には次のような関係があります。

　（Ａ）　路線価：公示価格の８０％
　（Ｂ）　固定資産税路線価：公示価格の７０％
　　　　　　

この関係を利用すると、以下のような簡単な計算ができます。

　（イ）土地の実勢価格(目安）を推定したい場合
　　　　✓　推定公示価格　→　相続税路線価 ÷ ０．８（路線価×１．２５）　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　または
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　固定資産税路線価（≒固定資産税評価額） ÷ ０．７

　　（例）相続税路線価が24万円／㎡の場合
　　　　　　　→　推定公示価格＝24万円／㎡÷0.8＝30万円／㎡

　

　（ロ）土地の固定資産税評価額（目安）を推定したい場合
　　　　✓　推定固定資産税評価額　→　相続税路線価 ÷0.8 ×0.7　　

　　　（例）路線価が24万円／㎡の場合
　　　　　　　→　推定固定資産税評価額＝24万円／㎡÷0.8×0.7＝21万円／㎡

　　　　　　
なお、固定資産税や都市計画税の課税標準額は、固定資産税評価額とは必ずしも一致しません。課税標準額は、軽減措置（小規模住宅用地の軽減等）や負担調整率を考慮して決定されています。



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非嫡出子の相続分の違憲決定に伴う相続税の取り扱い（速報）

１．平成25年9月4日の最高裁判所の決定について

民法の規定では、法律上婚姻関係のない両親から生まれた「婚外子」（非嫡出子）の相続については、「法律婚の子（嫡出子）の2分の1」とする旨が規定されています。

民法第900条4号

子、直系尊属又は兄弟姉妹が数人あるときは、各自の相続分は、相等しいものとする。ただし、嫡出でない子の相続分は、嫡出である子の相続分の二分の一とし、父母の一方のみを同じくする兄弟姉妹の相続分は、父母の双方を同じくする兄弟姉妹の相続分の二分の一とする。

 

この民法規定を巡る裁判（平成13年7月に死亡した被相続人の遺産に関する裁判）で、最高裁は9月4日、「憲法に違反する」として非嫡出子の相続分に関する規定（非嫡出子の相続分を嫡出子の１／２とする規定）を無効とする判断を下しました。この結果、民法の相続分において、嫡出子と非嫡出子の差はなくなりました。


２．最高裁の決定を受けた相続税の扱い

（１）原則的取扱い

今回の最高裁の決定（違憲決定）を受けて、国税庁から相続税の扱いが公表されました。
今回の決定は、『確定的なものになった法律関係に影響を及ぼすものではない』と判示されていることから、決定の日（9月4日）を境に、違憲決定前（9月4日以前）か決定後（9月5日以後）かによって、取り扱いが分かれることになります。

すなわち、9月4日以前に相続税が確定している場合には、非嫡出子の相続分を嫡出子の１／２とする規定（以下、「嫡出に関する規定」）があるものとして相続税の計算・申告を行い、9月5日以後に相続税額が確定するものについては、「嫡出に関する規定」がないものとして相続税の計算・申告を行うことになります。


（２）例外的取扱い

原則的取扱いでは、9月4日と9月5日で、「嫡出に関する規定」の扱いに差が出ることになります。しかし、たった１日の差で相続税額に差が出るというのも、やや不公平感があります。そこで、9月4日以前に一旦確定した税額が、9月5日以後に変動するような場合には、「嫡出に関する規定」とする規定）がないものとして相続税の計算・申告ができることとされました。最高裁の決定事例が平成13年7月の相続であったため、相続税法でも平成13年7月以後に発生した相続が対象となっています。

例えば、平成25年8月31日に相続税の申告書を提出した場合を考えます。この場合、9月5日以後に新たに財産が見つかったり（申告漏れ）、評価に誤りが判明したため、修正申告書や更正の請求書を提出するとします。あるいは、9月5日以後に税務署による更正や更正決定があったとします。この場合には、一旦決定した税額が9月5日以後に変動するので、嫡出に関する規定がないものとして相続税額が計算されます。

ただし、「嫡出に関する規定」だけを理由とした更正の請求はできません。すなわち、「嫡出に関する規定」以外の理由で、確定した税額が変動することが必要になるわけです。

なお、平成25年9月4日以前の相続について、相続税の計算において「嫡出に関する規定」がないものとして扱われたとしても、『民法上の相続分』の扱いとは別の話であるという点を申し添えます。

上記の相続税上の扱いをまとめると、次の表のとおりになります。

詳細については、国税庁の以下のサイトをご覧ください。
http://www.nta.go.jp/sonota/sonota/osirase/data/h25/saikosai_20130904/index.htm




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72の法則

●　７２の法則

『７２の法則』というのをご存知でしょうか？
『７２の法則』とは、一定利率で元本を複利で運用した時に、元本が２倍になるまでに必要な年数を求めるときに役立つ法則です。すなわち、「７２÷年利率」で元本が2倍になる（概算）年数を求めることができます。例えば、年利率３％であれば、約２４年（７２÷３）、年利率６％であれば約１２年（７２÷１２）で元本が２倍になるということになります。

『７２の法則』を使った元本が２倍になる年数（簡便計算）と、２倍になるまでの年数を正確に計算した結果を一覧表にすると、以下のような表になります。①が「７２の法則」で計算した年数（簡便計算）、②が２倍になるまでの正確な年数です。

表を見ると、年利率が４％～１０％位までの範囲では、①「７２の法則（簡便計算）」と②正確な計算結果はほとんど同じような年数になっています。すなわち、上記の年利率の範囲では、『７２の法則』でかなり精度の高い近似値が得られていることがわかります。

● 『７２の法則』が成り立つ理由

ここで、『７２の法則』が成り立つ理由について考えてみましょう。
これは数学で簡単に証明できます。
元本をP円、利率をx％、元本が２倍になるまでの所用年数をn年とします。
すると、以下の式が成り立ちます。

２P＝Ｐ（１＋x）n 　⇔　２＝（１＋x）n
両辺の（自然）対数をとると以下のようになります。
2＝(1+x）n  ⇔  ln 2＝n･ln(1+x）　⇔　n=ln 2／ln(1+x）･･･ (1)

(1)式を元に計算した結果（＝正確な年数）が上の表の②です。

ところが、(1)式の形だと、パソコン等がないと簡単に計算できません。
そこで手軽に計算できる近似計算が必要となるのです。この近似計算が『７２の法則』です。

(1)式の分母の"ln(x＋1）" に着目します。これを f(x)＝ln(x+1) とおきます。
すると、f(x)はテイラー展開によって以下のようなります。

f(x)＝ln(x+1)＝x－1/2x2＋1/3x3ー1/4x4+･･･

ここで、x² 以後の項はxが限りなくゼロに近づけば、無視しうる程度に小さい数（＝ゼロ）になります。

そうすると、f(x)＝ln(x+1）≈ x となります（一次近似）。
別の言い方をすると(xの値が十分小さければ)、y = ln (x+1）のグラフは、y = xのグラフとほとんど同じということです。
(下記グラフ参照。）

前記(1)の式を ln(x+1）  ≈ x を用いて変形すると、
n = ln2／ln(x+1）　⇔　n＝ln2÷x　⇔　n･ x＝ln2･･･ (2)
となります。

xを％単位で表示するために、(2)式の両辺に100を掛けると、n・（100x）＝100・ln2≒69.31　となります(ln2≒0.6931です。)すなわち、『年数×利率（％）≒69.31』となります。

この69.31という数字に対応して"72"という数字が用いられるのです。
別に72でなくても、69、70あるいは71でもよいのですが、　この近辺の数値の中では、多くの約数を持つ"72"が最も計算しやすい数値なので、代表数値として用いられているということです。
ちなみに、元本が３倍になる年数を計算する場合は「年数×利率（％）≒109.8」になりますので、近似値として"108"を使うことができます。例えば、年利6％の場合に元本が3倍になる年数は、108÷6＝18（年）と計算できます。


●72の法則を応用すると、元本が10倍になる年数も計算できるのか？

72の法則を使うと、『2倍の場合が72、3倍の場合が108だから、36の倍数を使って、4倍の場合は144、5倍の場合は180というように計算できるのではないか？』という推測も出てくるでしょう。概算年数の計算という点では「間違い」とまでは言えませんが、72という概算数値を援用して36の倍数を用いて計算していくと、「元本の3倍」までは精度の高い計算ができますが、それ以上になると精度がかなり落ちていきます。例えば、4倍の場合（144）は「4倍:年数×利率（％）≒138.6」、5倍の場合（180）は「5倍:年数×利率（％）≒160.9」となりますので、乖離がだんだん大きくなってきます。

ちなみに、元本が10倍になる年数を求める時に72の法則を使うと「360」となり、年利4％では90年と計算されます。ところが、本来の簡便計算では「10倍:年数×利率（％）≒230.3」となりますから、実際は60年弱で10倍になります。60年と90年ではだいぶ結果が違ってきますので、もはや「72の法則」は通用しません。なお、上記(1)式を用いて10倍になる正確な年数を計算すると、約58.7年となります。


● 利率が上がってくると、『72の法則』が成り立たなくなる

72の法則が成り立たないもう一つのケースを検討します。先ほどの近似計算では、x² 以後の項を無視して計算しました。上記の表を見ると、利率(=x)が上昇して100％を超えるようになると、①「７２の法則（簡便計算）」と②正確な計算結果の乖離幅が大きくなっていることが分かります。すなわち、高い利率になると近似計算(切捨計算)が成り立たず、結果として、『72の法則』の精度が落ちていくのです。

これは、利率が上がると先ほど無視した部分が、無視できないような(大きな)数値になってくるためです。

数式では分かり難いかもしれないので、グラフで説明します。
利率（x）が低い領域では、y=ln(x+1)とy=xの２つのグラフがほとんど一緒であることは、上記のグラフで説明した通りです。ところが、下記のグラフで見るように、利率が高い領域では、y=ln(x+1)のグラフは、y=xのグラフと同じようなものと言えないのです。利率が上がると、近似計算（＝７２の法則）が成り立たないのはこれが理由です。

清水公認会計士事務所（Shimizu CPA Office）