清水公認会計士事務所 essays in some subjects: 72の法則

●　７２の法則

『７２の法則』というのをご存知でしょうか？
『７２の法則』とは、一定利率で元本を複利で運用した時に、元本が２倍になるまでに必要な年数を求めるときに役立つ法則です。すなわち、「７２÷年利率」で元本が2倍になる（概算）年数を求めることができます。例えば、年利率３％であれば、約２４年（７２÷３）、年利率６％であれば約１２年（７２÷１２）で元本が２倍になるということになります。

『７２の法則』を使った元本が２倍になる年数（簡便計算）と、２倍になるまでの年数を正確に計算した結果を一覧表にすると、以下のような表になります。①が「７２の法則」で計算した年数（簡便計算）、②が２倍になるまでの正確な年数です。

表を見ると、年利率が４％～１０％位までの範囲では、①「７２の法則（簡便計算）」と②正確な計算結果はほとんど同じような年数になっています。すなわち、上記の年利率の範囲では、『７２の法則』でかなり精度の高い近似値が得られていることがわかります。

● 『７２の法則』が成り立つ理由

ここで、『７２の法則』が成り立つ理由について考えてみましょう。
これは数学で簡単に証明できます。
元本をP円、利率をx％、元本が２倍になるまでの所用年数をn年とします。
すると、以下の式が成り立ちます。

２P＝Ｐ（１＋x）ⁿ 　⇔　２＝（１＋x）ⁿ
両辺の（自然）対数をとると以下のようになります。
2＝(1+x）ⁿ ⇔ ln 2＝n･ln(1+x）　⇔　n=ln 2／ln(1+x）･･･ (1)

(1)式を元に計算した結果（＝正確な年数）が上の表の②です。

ところが、(1)式の形だと、パソコン等がないと簡単に計算できません。
そこで手軽に計算できる近似計算が必要となるのです。この近似計算が『７２の法則』です。

(1)式の分母の"ln(x＋1）" に着目します。これを f(x)＝ln(x+1) とおきます。
すると、f(x)はテイラー展開によって以下のようなります。

f(x)＝ln(x+1)＝x－1/2x²＋1/3x³ー1/4x⁴+･･･

ここで、x²以後の項はxが限りなくゼロに近づけば、無視しうる程度に小さい数（＝ゼロ）になります。

そうすると、f(x)＝ln(x+1）≈ x となります（一次近似）。
別の言い方をすると(xの値が十分小さければ)、y = ln (x+1）のグラフは、y = xのグラフとほとんど同じということです。
(下記グラフ参照。）

前記(1)の式を ln(x+1） ≈ x を用いて変形すると、
n = ln2／ln(x+1）　⇔　n＝ln2÷x　⇔　n･ x＝ln2･･･ (2)
となります。

xを％単位で表示するために、(2)式の両辺に100を掛けると、n・（100x）＝100・ln2≒69.31　となります(ln2≒0.6931です。)すなわち、『年数×利率（％）≒69.31』となります。

この69.31という数字に対応して"72"という数字が用いられるのです。
別に72でなくても、69、70あるいは71でもよいのですが、　この近辺の数値の中では、多くの約数を持つ"72"が最も計算しやすい数値なので、代表数値として用いられているということです。
ちなみに、元本が３倍になる年数を計算する場合は「年数×利率（％）≒109.8」になりますので、近似値として"108"を使うことができます。例えば、年利6％の場合に元本が3倍になる年数は、108÷6＝18（年）と計算できます。

●72の法則を応用すると、元本が10倍になる年数も計算できるのか？

72の法則を使うと、『2倍の場合が72、3倍の場合が108だから、36の倍数を使って、4倍の場合は144、5倍の場合は180というように計算できるのではないか？』という推測も出てくるでしょう。概算年数の計算という点では「間違い」とまでは言えませんが、72という概算数値を援用して36の倍数を用いて計算していくと、「元本の3倍」までは精度の高い計算ができますが、それ以上になると精度がかなり落ちていきます。例えば、4倍の場合（144）は「4倍:年数×利率（％）≒138.6」、5倍の場合（180）は「5倍:年数×利率（％）≒160.9」となりますので、乖離がだんだん大きくなってきます。

ちなみに、元本が10倍になる年数を求める時に72の法則を使うと「360」となり、年利4％では90年と計算されます。ところが、本来の簡便計算では「10倍:年数×利率（％）≒230.3」となりますから、実際は60年弱で10倍になります。60年と90年ではだいぶ結果が違ってきますので、もはや「72の法則」は通用しません。なお、上記(1)式を用いて10倍になる正確な年数を計算すると、約58.7年となります。

● 利率が上がってくると、『72の法則』が成り立たなくなる

72の法則が成り立たないもう一つのケースを検討します。先ほどの近似計算では、x² 以後の項を無視して計算しました。上記の表を見ると、利率(=x)が上昇して100％を超えるようになると、①「７２の法則（簡便計算）」と②正確な計算結果の乖離幅が大きくなっていることが分かります。すなわち、高い利率になると近似計算(切捨計算)が成り立たず、結果として、『72の法則』の精度が落ちていくのです。

これは、利率が上がると先ほど無視した部分が、無視できないような(大きな)数値になってくるためです。

数式では分かり難いかもしれないので、グラフで説明します。
利率（x）が低い領域では、y=ln(x+1)とy=xの２つのグラフがほとんど一緒であることは、上記のグラフで説明した通りです。ところが、下記のグラフで見るように、利率が高い領域では、y=ln(x+1)のグラフは、y=xのグラフと同じようなものと言えないのです。利率が上がると、近似計算（＝７２の法則）が成り立たないのはこれが理由です。