ROAとROEの関係式

１．はじめに

「財務分析」や「コーポレート・ファイナンス」の書籍では、下記の（1）と(2)の関係式がしばしば登場します。






しかし、書籍の中では導出過程が記述されていないケースが多く、「意味が良く分からない」という声を時々耳にします。ということで、今回はこの式の導出過程を含めて、ROAやROEについても簡単に説明したいと思います。


２．ROAとROE

ROA（Return on Asset）は、総資産（総資本）事業利益率を意味します。ROA＝事業利益（営業利益＋受取利息・配当金）÷総資産（総資本）となります。ここで注意すべきは、総資本事業利益率における事業利益は、支払利息を控除する前の金額になるということです。

理由は、分母が「総資本＝負債（他人資本）＋（自己）資本」になっているからです。
企業は総資本（総資産）を使って利益を生み出しています。したがって、分母に対応する分子には、この総資本（総資産）が生み出す利益を対応させるというわけです。また、ROAの計算に用いる利益は通常、「税引前」利益となります。
 
一方、ROE（Return on Equity）は、自己資本利益率を意味します。ROEの場合、分子には当期純利益が来ます。この理由は、分母が自己資本であり、自己資本に対応させるべき利益は、支払利息を控除した当期純利益とするのが理論的だからです。なお、ROEの分子の当期純利益は税引前、税引後のいずれのケースもありますが、税金支払後の利益を株主に還元(配当）するという発想から、税引後利益を用いるケースが多くなります。

以上で、ROAとROEの簡単な説明を終えます。


３．記号の意味

まず、(1)式の関係からです。 は、税引前（Before Tax）のROEを意味します。ｉ ：負債利子率、D：負債、E：自己資本です。

(2)式の は、税引後（After Tax）のROEを意味します。t ：法人税率です。


４．式の導出

準備が整いましたので、(1)式の導出から始めましょう。
まず、次の５つ（①～⑤）の関係式を確認してください。簡便化のため、総資産（総資本）＝Aと表記しています。

①　ROA（総資産利益率）＝事業利益÷総資産（A）　⇔　事業利益＝総資産（A）×ROA
②　総資産（A）＝負債（D）＋自己資本(E)　⇔　A＝D＋E
③　支払利息額＝負債利子率（ｉ） × 負債(D) ⇔ 支払利息額 ＝ ｉ ×D
④　(税引前)当期純利益＝事業利益－支払利息額　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⇔　（税引前）当期純利益＝事業利益－（ｉ ×D）
⑤　（税引前）ROE[ 自己資本利益率 ]＝（税引前）当期純利益÷自己資本（E）

■　まず、②式を①式に代入します。　事業利益＝（D＋E）× ROA　･･･　①´
■　次に①´ 式を④式に代入します。　（税引前）当期純利益＝（D＋E）× ROA－（ｉ  × D）　･･･④´
■　④´式の両辺をEで割ります。
　　④´式の左辺が、（税引前）当期純利益÷自己資本（E）＝（税引前）ROEになることに注意すると
　　　ROE ＝{（D＋E）× ROA－（ｉ  × D）} ÷ E
　　　⇔　ROE ＝（ROA × E＋（ROA－ｉ ）× D} ÷ E　となります。
　　　右辺をさらに整理していくと、ROE ＝ ROA＋（ROA－ｉ ）× D／Eとなり、（１）が得られました。




（２）の導出は簡単で、税金を考慮するだけです。簡略化のため、税引後当期純利益をAT、税引前当期純利益をBTと表記します。

⑥　税引後当期純利益（AT）＝当期純利益（BT）－法人税額
⑦　法人税額 ＝ 税引前当期純利益（BT）× 法人税率（ t ）

■　⑦式を⑥式に代入すると、AT ＝ BT－（BT × t）⇔　AT＝BT（１－t）･･･⑥´　を得ます。

(1)式は税引前利益を表す式ですから、（１）式の両辺に（１－t）を乗じれば、税引後利益を表す(2)式になります。
　




５．ROAと負債利子率の関係

再び(1)式を考えます。



（１）式のROA（総資本事業利益率）とi （負債利子率）に着目します。
まず、ROA＞ i の場合を考えます。この場合（ROA－i）＞0ですから、D／Eが大きいほどROEが大きくなります。

すなわち、負債利子率を上回る総資本利益率が実現できれば、負債（借入金）を（相対的に）増やすことで、ROEが増大するということになります。負債をテコに利益率が上昇するということから、財務レバレッジと呼ばれます。

逆に、ROA＜i の場合には、（ROA－i）＜0ですから、D／Eが大きいほど、ROEが小さくなります。
すなわち、負債利子率に満たない総資本事業利益率しか上げられなければ、負債の（相対的な）増加によってROEが低下するということです。



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72の法則

●　７２の法則

『７２の法則』というのをご存知でしょうか？
『７２の法則』とは、一定利率で元本を複利で運用した時に、元本が２倍になるまでに必要な年数を求めるときに役立つ法則です。すなわち、「７２÷年利率」で元本が2倍になる（概算）年数を求めることができます。例えば、年利率３％であれば、約２４年（７２÷３）、年利率６％であれば約１２年（７２÷１２）で元本が２倍になるということになります。

『７２の法則』を使った元本が２倍になる年数（簡便計算）と、２倍になるまでの年数を正確に計算した結果を一覧表にすると、以下のような表になります。①が「７２の法則」で計算した年数（簡便計算）、②が２倍になるまでの正確な年数です。

表を見ると、年利率が４％～１０％位までの範囲では、①「７２の法則（簡便計算）」と②正確な計算結果はほとんど同じような年数になっています。すなわち、上記の年利率の範囲では、『７２の法則』でかなり精度の高い近似値が得られていることがわかります。

● 『７２の法則』が成り立つ理由

ここで、『７２の法則』が成り立つ理由について考えてみましょう。
これは数学で簡単に証明できます。
元本をP円、利率をx％、元本が２倍になるまでの所用年数をn年とします。
すると、以下の式が成り立ちます。

２P＝Ｐ（１＋x）n 　⇔　２＝（１＋x）n
両辺の（自然）対数をとると以下のようになります。
2＝(1+x）n  ⇔  ln 2＝n･ln(1+x）　⇔　n=ln 2／ln(1+x）･･･ (1)

(1)式を元に計算した結果（＝正確な年数）が上の表の②です。

ところが、(1)式の形だと、パソコン等がないと簡単に計算できません。
そこで手軽に計算できる近似計算が必要となるのです。この近似計算が『７２の法則』です。

(1)式の分母の"ln(x＋1）" に着目します。これを f(x)＝ln(x+1) とおきます。
すると、f(x)はテイラー展開によって以下のようなります。

f(x)＝ln(x+1)＝x－1/2x2＋1/3x3ー1/4x4+･･･

ここで、x² 以後の項はxが限りなくゼロに近づけば、無視しうる程度に小さい数（＝ゼロ）になります。

そうすると、f(x)＝ln(x+1）≈ x となります（一次近似）。
別の言い方をすると(xの値が十分小さければ)、y = ln (x+1）のグラフは、y = xのグラフとほとんど同じということです。
(下記グラフ参照。）

前記(1)の式を ln(x+1）  ≈ x を用いて変形すると、
n = ln2／ln(x+1）　⇔　n＝ln2÷x　⇔　n･ x＝ln2･･･ (2)
となります。

xを％単位で表示するために、(2)式の両辺に100を掛けると、n・（100x）＝100・ln2≒69.31　となります(ln2≒0.6931です。)すなわち、『年数×利率（％）≒69.31』となります。

この69.31という数字に対応して"72"という数字が用いられるのです。
別に72でなくても、69、70あるいは71でもよいのですが、　この近辺の数値の中では、多くの約数を持つ"72"が最も計算しやすい数値なので、代表数値として用いられているということです。
ちなみに、元本が３倍になる年数を計算する場合は「年数×利率（％）≒109.8」になりますので、近似値として"108"を使うことができます。例えば、年利6％の場合に元本が3倍になる年数は、108÷6＝18（年）と計算できます。


●72の法則を応用すると、元本が10倍になる年数も計算できるのか？

72の法則を使うと、『2倍の場合が72、3倍の場合が108だから、36の倍数を使って、4倍の場合は144、5倍の場合は180というように計算できるのではないか？』という推測も出てくるでしょう。概算年数の計算という点では「間違い」とまでは言えませんが、72という概算数値を援用して36の倍数を用いて計算していくと、「元本の3倍」までは精度の高い計算ができますが、それ以上になると精度がかなり落ちていきます。例えば、4倍の場合（144）は「4倍:年数×利率（％）≒138.6」、5倍の場合（180）は「5倍:年数×利率（％）≒160.9」となりますので、乖離がだんだん大きくなってきます。

ちなみに、元本が10倍になる年数を求める時に72の法則を使うと「360」となり、年利4％では90年と計算されます。ところが、本来の簡便計算では「10倍:年数×利率（％）≒230.3」となりますから、実際は60年弱で10倍になります。60年と90年ではだいぶ結果が違ってきますので、もはや「72の法則」は通用しません。なお、上記(1)式を用いて10倍になる正確な年数を計算すると、約58.7年となります。


● 利率が上がってくると、『72の法則』が成り立たなくなる

72の法則が成り立たないもう一つのケースを検討します。先ほどの近似計算では、x² 以後の項を無視して計算しました。上記の表を見ると、利率(=x)が上昇して100％を超えるようになると、①「７２の法則（簡便計算）」と②正確な計算結果の乖離幅が大きくなっていることが分かります。すなわち、高い利率になると近似計算(切捨計算)が成り立たず、結果として、『72の法則』の精度が落ちていくのです。

これは、利率が上がると先ほど無視した部分が、無視できないような(大きな)数値になってくるためです。

数式では分かり難いかもしれないので、グラフで説明します。
利率（x）が低い領域では、y=ln(x+1)とy=xの２つのグラフがほとんど一緒であることは、上記のグラフで説明した通りです。ところが、下記のグラフで見るように、利率が高い領域では、y=ln(x+1)のグラフは、y=xのグラフと同じようなものと言えないのです。利率が上がると、近似計算（＝７２の法則）が成り立たないのはこれが理由です。

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