統計的サンプリング：25件のサンプル(6)

前回までは、25件のサンプルで１件も逸脱（承認漏れ）がなかったケースを取り扱いました。今回は承認漏れが見つかったケースについて考えたいと思います。


■　25件中、１件逸脱（承認漏れ）があった場合

前回説明したように、ある事象が起きる確率をP_Bとした場合、試行をｎ回行って、ある事象がx回起こる確率をP_B(x)とすると、確率P_B(x)は以下のように表すことができました。

　　

PB(x)＝nＣxｐx(１－ｐ)n-x

２項分布の確率計算で、１件の逸脱（承認漏れ）が出る確率P_B(1)は、以下のように計算されます。

　P_B(1)＝₂₅Ｃ₁ ×(0.09)¹×（１－0.09)^25-1 =₂₅Ｃ₁ ×(0.09)¹×(0.91)²⁴≒23.40％

(許容)逸脱率9％の場合、25件中1件の逸脱(承認漏れ)が生じる可能性は約23％となるので、1件でも承認漏れがあったら、「90％以上の信頼度で逸脱率が9％以下である。」とは、残念ながら言えないことになります。

この場合、２つの対応が考えられます。１つは、サンプル数を増やしてもう１回検討する方法、もう1つは、逸脱率が９％を超える統制（＝弱い統制）という前提で監査を進める方法です。後者は簡単にいえば、内部統制にあまり頼らずに、(試査範囲を広げて)監査を行うということです。後者は監査実務固有の話になるので、今回は前者の（サンプル数を増やす方法）を取り上げます。


■　１件承認漏れがある場合の必要サンプル数

１件承認漏れがある場合、以下のようなサンプル数（n）を求めればよいことになります。

二項分布を前提として承認漏れが１件見つかった場合、90％の信頼度を得るには、少なくともｎ 件のサンプルが必要になる。

ここでは仮にサンプル数を40件とします。すると、1件の承認漏れがある確率は、n=40として上の式を使って計算すると、約9.10％となります。そうすると、あと、15件(40件-25件）追加サンプルを選んで、15件中1件も逸脱がなければ、一見良さそうな気がします。しかしこれは間違いです。

というのも、この9.10％というのは、「40件中ちょうど1件の逸脱が発生する確率」であって、「40件中1件以下の逸脱が発生する確率」ではないからです。すなわち、計算においては40件中1件も逸脱が発生しない確率も考慮しなければならないのです。

ここで、n件中1件も逸脱が生じない確率をP_B(0)，1件逸脱が発生する確率をP_B(1)とすると
P_B(0)＋P_B(1)＜10％　となるように、サンプル数を決定する必要があるのです（ちなみに符号は、≦，＜のどちらでも構いません。）

この場合の最小サンプル数を計算すると42件となります。したがって、追加で17件（42件－25件）サンプルを選び、追加サンプルに1件も逸脱（承認漏れ）がなければ、90％以上の確率で（母集団の）逸脱率は9％以下であると判断できることになります。

■　逸脱（承認漏れ）が2件以上の場合　☛　計算は複雑化

逸脱が1件程度なら何とかなりますが、2件、3件と増えて行った場合（監査上どう取り扱うかは別にして）、その分沢山のサンプルが必要となります。仮に、逸脱が3件まで許容できるとした場合、P_B(0)＋P_B(1)+P_B(2)+P_B(3)＜10％となるように、サンプル数を決定しなければなりませんから、手計算では煩雑になります。

上記の（累積）確率をExcel関数を使って計算する場合、計算式は以下のようになります。

=BINOM.DIST(逸脱件数, サンプル数, 逸脱率（0.09）, TRUE)

ただ、上記のExcel関数を使ったとしても、試行錯誤を行って10％の危険率（90％の信頼度）を満たすようなサンプル数を見つける必要がありますので、計算はやや煩雑となります。

今回はここまでとします。
次回は、「二項分布」と「正規分布」との関係の説明と今まで(1回〜6回)のまとめをしたいと思います。


清水公認会計士事務所（Shimizu CPA Office）