統計的サンプリング：25件のサンプル(4)

今回は前回までの話を前提に、２項分布（Binomial Distribution ）を取り上げます。

■　２項分布の基礎

２項分布（Binomial Distribution）とは、例えば「コインを５回投げて表が２回以上出る確率」とか、「サイコロを１０回投げて１回も１の目が出ない確率」のように、結果が２通り(成功 or 失敗)しかないような確率分布です。コインであれば"表"or"裏"、サイコロであれば"１の目が出る"or"１の目が出ない"の２通りの結果しかありませんので、２項分布となります。

ここで少し前提知識をお話します。コインやサイコロを投げることを「試行」といいます。このとき、

①　試行の結果は、ある事象が起こるか起こらないかの２通りである。 ②　個々の試行の結果は、独立（お互いに影響を受けない）である。

という条件を満たす試行のことベルヌーイ試行といい、２項分布はこのベルヌーイ試行の確率分布となります。

ここで、ベルヌーイ試行の例として、サイコロを10回振る例を考えます。サイコロを振って１の目が出る確率は1/6，1の目が出ない確率（1以外の目が出る確率）は5/6です。前述のとおり、この試行では「1の目が出る」か「１以外の目が出るか」のいずれかとなるので、２項分布に従います。また、9回目までに1の目が何回出たか（あるいは出なかったか）にかかわらず、10回目に1の目が出る確率は1/6です。すなわち、サイコロを振る例は、上記の①、②の条件を満たす試行と言えます。

一般に、ある事象が起きる確率をP_Bとした場合、試行をｎ回行って、ある事象がx回起きる確率をP_B(x)とすると、確率P_B(x)は以下のように表すことができます（Cは組み合わせを示す記号です。）

ＰB(x)＝nＣxｐx(１－ｐ)n-x

10回サイコロを振って、1回も1の目が出ない確率をP_B(0)とすると、P_B(0)は以下のように計算できます。Cは組み合わせを示す記号ですが、1回も1の目が出ない組み合わせというのは、1通りしかありませんので、₁₀Ｃ₀=1です。
　
　　　P_B(0)＝₁₀Ｃ₀ ×(1/6)⁰×（１－1/6)^10-0 =1×(1/6)⁰×(5/6)¹⁰≒16.15％

　
これでようやく準備が整いましたので、本題の解釈に入ります。


■　母集団の逸脱率 ≠ サンプルの逸脱率

日常反復継続する取引について、統計上の二項分布を前提とすると、90%の信頼度を得るには、評価対象となる統制上の要点ごとに少なくとも25 件のサンプルが必要になる。

この文章は、「サンプルが２５件必要」ということを意味していますが、逆に「２５件のサンプルを選んだら何が言えるのか？」ということを考えた方が分かりやすいので、サンプル数の方を基準に考えます。ここで、先程のサイコロを振る例を「統制」の話に置き換えます。サイコロの確率は以下の計算式で計算できました。

ＰB(x)＝nＣxｐx(１－ｐ)n-x

今回の統制のケース(２５件のサンプル)では、上記の式でn＝25, x=0と置き換えれば良いのです。しかしサイコロの目と違って、「取引全体の中で部長承認のない本当の確率」(=p）は分かりません。そこで、監査にあたっては、逸脱率（=p）に関する仮説を立てる（＝ハードルを設定する）ことになります。

ここでは、「部長承認のない取引が取引全体の９％であれば、（監査上）許容できる」と考えたとします。言い換えると、「全体の９％程度について部長承認がなくても、この統制は一応有効である」と監査人（公認会計士等）が判断しているということになります。この９％を許容逸脱率（Tolerable Rate of Deviation）と言います。

この”許容逸脱率（９％）”というのは、母集団全体で許容される逸脱率の想定であって、サンプル（25件）の逸脱率とは無関係です。この時点では、監査人はサンプル中には逸脱が「ない」と想定しているのです。なお、サンプルに逸脱があるケースや、監査人が逸脱を想定しているケースは別途扱います。また、許容逸脱率は、母集団の逸脱率(予想)とも無関係であり、監査人が自ら設定する基準です。

■　２５件のサンプルから言えること

９％の許容逸脱率という想定の下、監査人が２５件のサンプルを抽出・検討した結果、２５件すべてが部長承認されていたとします。この場合、２５件すべてに部長承認がある確率（1件も承認漏れがない確率）は以下のように計算できます（1件も承認漏れがない組合わせというのは、１通りしかありません。すなわち、₂₅Ｃ₀ ＝１です。）

　　P_B(0)＝₂₅Ｃ₀ ×(0.09)⁰×（１－0.09)^25-0 =₂₅Ｃ₀ ×(0.09)⁰×(0.91)²⁵＝１×(0.91)²⁵≒9.46％

ちなみに、上記の計算をExcelの二項分布の関数を使って計算すると、計算式は以下のようになります。

=BINOM.DIST(0, 25, 0.09, TRUE)

９％を許容できる逸脱率（承認漏れ率）と想定すると、逸脱（承認漏れ）が25件中1件もない確率は9.46％と計算されます。逆に、25件中1件以上逸脱がある確率は、90.54％（100％－9.46％）ということになります。

上で述べた結果はどのように解釈できるでしょうか。(許容)逸脱率を９％とすると、25件中１件も逸脱がない可能性は、かなり低い確率（約9.5％）と言えます。ということは、実際の逸脱率はもっと低いのではないか（＝当初設定した９％という逸脱率が高すぎたのではないか）という解釈になります。

一方、（25件より少ない）20件のサンプルを選んだ場合、１件も逸脱がない確率は約15.2％と計算されます。こちらはさほど珍しい確率とは言えませんので、「当初設定した９％という逸脱率」を否定することはできません。なお、サンプル数が30件の場合に１件も逸脱がない確率は約5.9％、サンプル数が24件の場合には約10.4％と計算されます。

サンプル数	逸脱件数	確率	信頼度90％の基準
20件	0件	15.2％	ＮＧ
24件	0件	10.4％	ＮＧ
25件	0件	9.5％	ＯＫ
30件	0件	5.9％	ＯＫ

ここで、「1件も逸脱が起こらない確率」がピッタリ10％となるようなサンプル数（n）を考えます。これが、信頼度90％を満たすサンプル数となります。上記の表で見ると、25件の場合は90.5％（100％－9.5％）ですが、24件の場合は89.6％（100％－10.4％）なので、"24件＜n＜25件"となります。サンプル数は自然数なので、90％の信頼度を満たすサンプル数は25件となります。すなわち、90％の信頼度に照らすと、サンプル数が25件以上あればOK、24件以下ではNGとなります。

もちろん、サンプル数を30件選んで1件も逸脱（承認漏れ）がなければ、信頼度が94.1％（100％－5.9％）となりますので、監査上はより望ましいと言えます。しかし、最低25件のサンプル数があれば（そしてサンプル中に逸脱が1件もなければ）、90％の信頼度で（部長の承認という）統制の有効性が判断できることになります。

これが、25件のサンプルの意味です。 少し長くなりましたので（途中ですが）、今回はここまでとします。

次回は２５件のサンプルについて、もう少し話を進めたいと思います。


清水公認会計士事務所（Shimizu CPA Office）